Data tunggal dan berkelompok

Coba jelaskan dan beri contoh Data tunggal dan berkelompok serta carilah nilai Mean, Median dan Modus pada masing-masing contoh tersebut.

PENGERTIAN STATISTIKA

• Statistik : nilai-nilai ukuran data yang mudah dimengerti.
• Statistika : Ilmu yang berkaitan dengan cara pengumpulan, pengolahan, analisis, dan penarikan kesimpulan atas data.

PENGERTIAN DATA TUNGGAL DAN DATA BERKELOMPOK

Data tunggal adalah data yang belum tersusun atau dikelompkkan kedalam kelas2 interval, sedangkan data kelompok adalah data yang sudah disusun dan dikelompokan dalam kelas2 interval. biasanya data kelompok disusun dalam tabel frekuensi.

A. Data Tunggal

1. Rataan hitung atau mean 

2. Modus (Mo) adalah nilai yang paling sering muncul

3. Median (Me) adalah nilai tengah dari data setelah diurutkan mulai dari yang kecil sampai yang besar

4. Kuartil (Q) adalah nilai yang membagi data menjadi 4 bagian setelah diurutkan. Kuartil ada tiga macam yaitu Q₁,Q­₂, dan Q₃

5. Statistika lima serangkai:

xmin		xmaks
Q1	Q2	Q3

6. Rataan 3

7. Jangkauan (J)= Range (R)=nilai terbesar-nilai terkecil = x_maks-x_min

8. Jangkauan Kuartil = Q₃-Q₁

9. Simpangan kuartil atau jangkauan semi kuartil (Q­_d) = ½(Q₃-Q₁)

10. Simpangan rata-rata

11. Ragam atau varians

12. Simpangan Baku/Standar Deviasi

Contoh:

Diketahui data: 50, 30, 70, 40, 80, 60, 60,50,60,40. Tentukan

·         Rataan

·         Modus

·         Median

·         Kuartil

·         Statistika lima serangkai

·         Rataan Tiga

·         Jangkauan

·         Jangkauan Kuartil

Jawab:

Data Diurutkan: 30, 40, 40, 50, 50, 60, 60,60, 70, 80

a. Rataan 

b. Modus=60 (paling banyak muncul)

c. Median = 

d. Kuartil

30	40	40	50	50	60	60	60	70	80
	Q1			Q2				Q3

Q₁=40, Q₂=(50+60)/2=55, Q₃=70

e. Statistika lima serangkai:

30		80
40	55	70

f. Rataan 3 = 

g. Jangkauan (J)= Range (R)=80-30=50

h. Jangkauan Kuartil= 70-40=30

i. Simpangan kuartil atau jangkauan semi kuartil (Q­_d) = ½(Q₃-Q₁)=1/2(70-40)=15

B. data berkelompok

1.MEAN 

Pengertian Mean adalah teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai rata-rata dari kelompok tersebut. Rata-Rata (mean) ini didapat dengan menjumlahkan data seluruh individu dalam kelompok itu, kemudian dibagi dengan jumlah individu yang ada pada kelompok tersebut.

CONTOH : 

Data berkelompok : Carilah mean

Penjelasan :

• FI : Frekuensi 

• xi : Nilai tengah/titk tengah.

• Interval : jarak perkelas.

• Panjang kelas : Misal (41-31 = 10). maka panjang kelas 10.

RUMUS :

X=6770/100 = 67,77


2.MEDIAN

Pengertian median adalah salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang terkecil sampai yang terbesar, atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil.

Contoh Median :

Hasil observasi umur pegawai di kantor X adalah :

20, 45, 60, 56, 45, 45, 20, 19, 57, 45, 45, 51, 35

Untuk dapat mencari mediannya maka data umur diatas harus disusun terlebih dahulu urutannya. Setelah disusun, menjadi sebagai berikut :

19, 20, 20, 35, 45, 45, 45, 45, 45, 51, 56, 57, 60

Nilai tengah data diatas berada pada urutan ke 7 yaitu 45. Jadi mediannya adalah 45.

3.MODUS

Pengertian modus adalah teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai yang sedang populer (yang sedang menjadi mode) atau nilai yang sering muncul dalam kelompok tersebut.

Contoh Modus Pada Data Kualitatif :

Tahun 1970 di Yogyakarta, banyak mahasiswa yang naik sepeda. Sehingga dapat menjelaskan dengan modus, bahwa kelompok mahasiswa di Yogyakarta masih banyak yang naik sepeda.

Contoh Modus Pada Data Kuantitatif :

Umur pegawai kantor Y adalah :

20, 45, 60, 56, 45, 45, 20, 19, 57, 45, 45, 51, 35

Dari data diatas, dapat dilihat bahwa yang paling banyak muncul adalah umur 45. Munculnya sebanyak 5 kali, jadi dapat dijelaskan bahwa kelompok pegawai kantor Y sebagian besar berumur 45 tahun.

 4.KUARTIL

Kuartil adalah titik yang membagi data yang telah diurutkan menjadi 4 bagian dan masing-masing 25%.
Kuartil ada 3 macam :
a. Kuartil bawah (K1) = 25% dari titik bawah
b. Kuartil tengah (K2) = 50% dari titik bawah 
c. Kuartil atas (K3)     = 75% dari titik bawah

a. Kuartil Data Tunggal

Keterangan :
Ki = kuartil ke-i
i   = ke-i (1, 2, 3)
n  = banyak data

a. Kuartil Data Berkelompok

Keterangan :
Ki = kuartil ke-i
Li = batas bawah kelas kuartil ke-i
Fi = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
C  = panjang kelas
n  = jumlah seluruh data
fi  = frekuensi kelas kuartil ke-i
i   = ke-i (1, 2, 3)

2. Desil
     Desil didefinisikan sebagai nilai batas dari sekumpulan data yang telah diurutkan menjadi 10 bagian.

a. Desil Data Tunggal

Keterangan :

Di = desil ke-i

i   = ke-i (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
n  = banyak data

b. Desi Data Berkelompok

Keterangan : 
Di  = desil ke-i
Li  = batas bawah kelas desil ke-i
i    = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Fi  = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i
fi   = frekuensi kelas desil ke-i
C  = panjang kelas
n   = jumlah seluruh data

3. Persentil
     Persentil adalah titik yang membagi data yang telah diurutkan menjadi 100 bagian.

a. Persentil Data Tunggal

Keterangan :
Pi = persentik ke-i
i   = 1, 2, 3, 4, 5, .... , 99
n  = banyak data

b. Persentil Data Berkelompok

Keterangan :
Pi = persentik ke-i
Li = batas bawah kelas persentik ke-i
n  = jumlah seluruh data
Fi = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i
fi  = frekuensi kelas persentil ke-i
C = panjang kelas

Contoh :

 
1. Tentukan kuartil-kuartil dari data: 1, 3, 6, 9, 14, 18, 21 

Jawab :
Jumlah data (n) = 7


maka nilai kuartil 1 adalah 3


maka nilai kuartil 2 adalah 9


maka nilai kuartil 3 adalah 18

2. Tentukan kuartil-kuartil dari: 2, 4, 9, 11, 13, 16

Banyak data (n) = 6

1¾ artinya    = data ke-1 + ¾ (data ke-2 - data ke-1)
Jadi nilai K1 = 2 + ¾ (4 - 2)
                K1  = 2 + 1½ 
                      = 3½


3½ artinya  = data ke-3 + ½ (data ke-4 - data ke-3)
Jadi K2       = 9 + ½ (11 - 9)
             K2   = 9 + 1
                    = 10


5¼ artinya = data ke-5 + ¼ (data ke-6 - data ke-5)
Jadi K3      = 13 + ¼ (16 - 3)
K3               = 13 + ¾
                   = 13¾

3. dari tabel berikut!

Kuartil ke-1 dari data yang tersaji pada tabel adalah ....

A. 31,13
B. 31,22
C. 31,61
D. 31,63
E. 32,11

Jawab : A

¤ Mencari K1 yaitu :

¤ Kita menggunakan rumus :

dari tabel di atas !
¹/₄ x 40 = 10
• L1 = 31 - 0,5
        = 30,5
• C  = 26 - 21
        = 5
• F1 = 9
• f1   = 8


¤ Mencari K2 yaitu :

¤ Kita menggunakan rumus :

Dari tabel di atas !
²/₄ x 40 = 20
• L2 = 36 - 0,5
        = 35,5
• C  = 26 - 21
        = 5
• F2 = 17
• f2   = 10


¤ Mencari K3 yaitu :

 

¤ Kita menggunakan rumus :

Perhatikan tabel di atas !
³/₄ x 40 = 30
• L3 = 41 - 0,5
       = 40,5
• C  = 26 - 21
        = 5
• F3 = 27
• f3   = 6
 

UKURAN PENYEBARAN DATA BERKELOMPOK

a. Hamparan
Dalam menghitung hamparan kita gunakan rumus sebagai berikut :


b. Simpangan Kuartil
Rumus untuk menghitung simpangan kuartil biasanya menggunakan rumus sebagai berikut :

c. Simpangan Rata-rata
Simpangan rata-rata suatu data berkelompok dihitung menggunakan rumus :


d. Ragam / Variansi
Ragam data berkelompok dihitung dengan rumus :


e. Simpangan Baku
Jika diketahui sekumpulan data kuantitaif yang tidak dikelompokkan yaitu x1, x2, x3, … , xn. Dari data tersebut kita dapat memperoleh nilai simpangan baku menggunakan rumus :


f. Koefisien Keragaman
Rumus dari koefisien keragaman yaitu :

dimana :
S : simpangan baku
x bar : rataan